Алгебра логики

В этом видео мы рассмотрим алгебру логики, выясним, что такое высказывание, какие логические операции существуют. Таймкод: 0:00 План урока 0:29 Что такое алгебра логики? 1:13 Высказывание 2:11 Логические операции 3:04 Итоги Понравилось, как преподаватель объясняет материал? Получи ещё больше полезного контента о подготовке к экзаменам в наших соц.сетях: https://clck.ru/Zr7kn - канал в Дзене, где разбираем сложные темы в образовании https://vk.com/domy24 - паблик ВК, в котором постоянно проводят розыгрыши и конкурсы А обо всем, что мы делаем, можно узнать у нас на сайте: https://center-think.ru/

Основные логические операции

1. Логическое отрицание (инверсия, логическое НЕ) —если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Обозначается ¬

2. Логическое сложение (дизъюнкция, логическое ИЛИ) — это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Обозначение: ∨ или +.

3. Логическое умножение (конъюнкция, логическое И) — это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Обозначение: ∧ или &.

4. Логическое следование (импликация) — связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) — следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначение: →.

5. Логическая равнозначность (эквивалентность, тождество) — определяет результат сравнения двух простых логических выражений А и В. Результатом ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ является новое логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны. Обозначение: ≡ или ↔ или ~.

Приоритет логических операций в сложном логическом выражении: 

1. Инверсия.

2. Конъюнкция. 

3. Дизъюнкция. 

4. Импликация. 

5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки. 

Таблицы истинности для сложных выражений

Таблицы истинности применяются для:

•  вычисления истинности сложных высказываний;

•  установления эквивалентности высказываний. 

Для построения таблицы истинности надо определить количество строк и столбцов. 

Количество строк = 2n + одна строка для заголовка (n — количество простых высказываний). 

Количество столбцов = количество переменных + количество логических операций. 

При построении таблицы надо учитывать все возможные сочетания логических значений 0 и 1 исходных выражений. Затем — определить порядок действий и составить таблицу с учетом таблиц истинности основных логических операций.

ПРИМЕР: составить таблицу истинности сложного логического выражения . 

А, В, С — три простых высказывания, поэтому: 

количество строк = 23 +1 = 9 (n=3, т. к. на входе три элемента А, В, С), 

количество столбцов:3 переменные + 3 операции = 6.

Алгоритм решения задачи №2 ЕГЭ.

for x in range(2):

    for y in range(2):

        for z in range(2):

            for w in range(2):

                if логическое высказывание == True (False):

                    print(x,y,z,w) 

Обозначения логических операций, которые могут встретиться в заданиях 2 и 15, приведены ниже.

Обращайте внимание на скобки! Не забывайте про приоритеты логических операций, рекомендуется каждую логическую операцию ставить в скобки.

Алгоритм решения задачи № 15 ЕГЭ.

А) Задачи на отрезки.

Чтобы найти длину отрезка, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

Чтобы найти количество точек – конец минус начало + 1.

Б) Задачи на ДЕЛ.

Обязательно обращайте внимание на ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ИЛИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ элементов!

Пример представлен ниже.

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)? 

for a in range (1, 1500):

    f = 0

    for x in range (1,1500):

        if ((((x % 23 )!= 0) or ((x % 17) != 0)) <= ((x % a) != 0)) == 0:

            f = 1

    if f == 0:

        print (a)

Ответ: 391

В) Задачи на побитовую конъюнкцию.

Пример представлен ниже.

Определить наименьшее натуральное число A, такое, что выражение

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

for a in range (1, 500):

    f = 0

    for x in range (1,1350):

        if (((x & 135) !=0) <=(((x & 233) ==0) <= ((x & a) !=0))) == 0:

            f = 1

    if f == 0:

        print (a)

Ответ: 6

Общий вариант решения задач:

for A in range(1,500):

    flag = 1

    for x in range(1,1000):

        if (логическое выражение из задачи) == 0: #ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ НА ОБЩУЮ СКОБКУ

            flag = 0

    if flag == 1:

        print(A)