Принцип неопределенности и его свойства

То обстоятельство, что в квантовой механике не существует понятия траектории, составляет содержание так называемого «принципа неопределенности», сформулированного в 1927 г. Гейзенбергом.

Принцип неопределенности

С математической точки зрения данное положение обычно записывают в следующем виде:

где — неопределенность координаты , — неопределенность импульса в направлении оси (аналогично для других направлений). Подобное же соотношение существует и для энергии:

которое означает, что

Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством измерительных приборов, а глубоко обусловлено самой природой вещей. Если бы оказалось возможным преодолеть это ограничение, то рухнуло бы все здание квантовой механики.

Пусть в направлении оси Х (рис. 1.3) движется свободный электрон. Используем для определения координаты электрона микроскоп. Поскольку требуется высокая точность, будем вести наблюдение с помощью коротких электромагнитных волн. При рассеянии фотонов на электроне в точке В пучок рассеянных фотонов попадает на экран через объектив CC′. В этом случае изображением светящейся точки (электрона) в плоскости изображения является дифракционная картина, состоящая из концентрических колец, окружающих центральный светлый дифракционный кружок (кружок Эйри). На него приходится около 84 % энергии света. Этот кружок и будет изображением светящейся точки (электрона). В волновой оптике доказывается, что минимальное разрешаемое расстояние (определяемое пределом разрешения микроскопа) равно:

Минимальное разрешаемое расстояние

где — угол, под которым виден объектив из положения электрона (так называемая апертура), — длина волны света. Этот предел разрешения обусловлен волновой природой света и не может быть превзойден никакими техническими усовершенствованиями микроскопа. Значение и можно принять за неопределенность координаты электрона . Значение , где — диаметр объектива, — расстояние от электрона до объектива. Таким образом, неопределенность координаты электрона будет порядка .

При рассеянии фотона на электроне происходит изменение состояния самого электрона. Если электроны свободны, то, согласно теории эффекта Комптона

Эффекта Комптона

Таким образом, если квант света с частотой и импульсом рассеивается на угол , электрону передается импульс, равный

Импульс передаваемый электрону

Следовательно, нельзя наблюдать электрон, не возмущая его. Более того, величина этого возмущения неизвестна, так как из-за конечной апертуры объектива неизвестен сам угол (этот угол может лежать в пределах от XBC до XBC′ ). Значит, для угла есть неопределенность порядка , а поскольку , неопределенность импульса, переданного электрону, будет порядка

Неопределенность импульса, переданного электрону

что и следует из соотношения неопределенностей.

Выводы

Отметим некоторые выводы, вытекающие из соотношения неопределенностей.

1. Измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. Конечно, и те и другие измерения сопровождаются некоторой ошибкой. Однако в классической физике всегда предполагалось, что путем улучшения методики и техники измерений ошибки могут быть сделаны сколь угодно малыми. В квантовой же механике существует предел точности измерений, который лежит в природе вещей и не может быть преодолен никаким ухищрениями. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и устанавливают один из таких пределов. Взаимодействие между макроскопическим прибором и микрочастицей во время измерения принципиально нельзя сделать сколь угодно малым. Если измеряется, например, координата частицы, то измерение неизбежно приводит к неустранимому неконтролируемому искажению первоначального состояния частицы, а следовательно, и к неопределенности импульса при последующем измерении. То же самое происходит, если поменять местами порядок измерения координаты и импульса частицы.

2. Невозможно реализовать состояние, в котором частица находится в полном покое.

3. В квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную. Одна из них зависит от импульсов, а другая от координат. А эти переменные не могут иметь одновременно определенные значения. Энергия должна определяться и измеряться лишь как полная энергия, без деления на кинетическую и потенциальную.

Соотношение неопределенности

Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Оно, например, позволяет объяснить, почему электрон не падает на ядро, более того, оценить даже размеры простейшего атома и его минимальную энергию. Примем для оценки неопределенность положения электрона в атоме водорода порядка размеров атома и неопределенность импульса порядка самого импульса: и . Тогда в силу соотношения неопределенности имеем . В гауссовой системе единиц энергия электрона в атоме водорода равна

Энергия электрона в атоме водорода

Найдем размеры атома при минимальной энергии. Для этого продифференцируем энергию по расстоянию и положим производную равной нулю:

Размер атома водорода

Отсюда сразу находим выражение для боровского радиуса:

Боровский радиус атомы водорода

и для минимальной энергии электрона в атоме водорода

Минимальная энергия атома водорода

Докажем теперь, что электрон не может находиться внутри атомного ядра.

Если электрон может находиться в области порядка размеров ядра (), то неопределенность импульса будет порядка

Оценим теперь его кинетическую энергию. На всякий случай воспользуемся релятивистской формулой для кинетической энергии:

(мы не ошиблись, применив релятивистскую формулу, поскольку полученное значение более чем в 500 раз превосходит энергию покоя электрона). Мы не знаем в природе сил, величина которых обеспечила бы связь электронов, обладающих столь большой энергией, с нуклонами ядра (электростатическая потенциальная энергия электрона на поверхности ядра составляет лишь 10 МэВ).

Представление о классическом движении электрона по орбитам также противоречит соотношению неопределенностей. Чтобы такое представление имело смысл, необходимо выполнение соотношения , где – радиус первой боровской орбиты, а – его неопределенность. Соответствующая неопределенность в радиальном импульсе будет:

что равно самому импульсу электрона . Это и означает, что бессмысленно говорить о движении электрона по орбитам внутри атома.

Посмотрим теперь на колебания атомов в твердых телах с точки зрения принципа неопределенности. Обычно такие колебания связаны с тепловым движением атомов. Чем выше температура, тем сильнее колебания и тем больше амплитуда этих колебаний. При понижении температуры уменьшается и амплитуда этих колебаний. И при нулевой температуре, с точки зрения классической физики, амплитуда должна быть равна нулю. А что же происходит на самом деле? Уменьшение амплитуды колебаний приводит к уменьшению области локализации частицы, и соответственно, в силу принципа неопределенности, начинает расти импульс и энергия частицы. То есть попытка остановить частицу безуспешна! И даже при абсолютном нуле температуры атомы в твердом теле совершают колебания – их называют нулевыми колебаниями.

Оценим энергию этих колебаний, принимая атом за гармонический осциллятор. Энергия гармонического осциллятора массой и частотой связана с амплитудой колебаний A соотношением:

Данное соотношение в сочетании с принципом неопределенности дает своеобразную связь амплитуды колебаний и энергии частицы. Чем меньше энергия, тем меньше амплитуда (область локализации частицы), тем больше минимальный импульс частицы, а это, соответственно, приводит к росту энергии. Минимальная энергия, которой может обладать частица, составляет

Связь амплитуды колебаний и энергии частицы

(при этом мы воспользовались соотношением ).

Из последнего соотношения получаем (точный расчет дает ). Полученный результат говорит о том, что энергия колебаний максимальна у легких атомов, у которых большая частота .

Самое яркое проявление нулевых колебаний – жидкость, которая не замерзает при K. Ясно, что жидкость не замерзает, если кинетической энергии колебаний атомов достаточно для того, чтобы разрушить кристаллическую решетку. При этом совершено неважно происхождение кинетической энергии – связана ли она с тепловым движением атомов или с нулевыми квантовыми колебаниями. Наиболее вероятные кандидаты в незамерзающие жидкости – водород и гелий (максимальная энергия нулевых колебаний). Но гелий – инертный газ, с очень слабым взаимодействием между атомами. И кинетической энергии нулевых колебаний достаточно для расплавления кристаллической решетки. Вот почему гелий не замерзает даже при нулевой температуре при нормальном давлении (при давлении 25 атмосфер гелий все-таки замерзает!).

Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: «на самом деле» частица имеет точное значение координаты и импульса, однако вмешательство прибора «портит» их значения. Такое истолкование является совершенно неверным, т.к. противоречит наблюдаемой на опыте дифракции микрочастиц.