Принцип суперпозиции состояний

Непосредственный физический смысл связывается не с самой функций , а с квадратом ее модуля . Почему же в квантовой механике рассматривается волновая функция , а не непосредственно наблюдаемая величина ?

Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества – интерференции и дифракции, которые отражают объективные, реально наблюдаемые волновые свойства материи.

Здесь дело обстоит точно так же, как и во всякой волновой теории. Эта теория принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей, пропорциональных квадрату полей, что позволяет включить в теорию явления интерференции и дифракции. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций. Оправданием такого принципа является согласие с опытом вытекающих из данного принципа следствий.

Принцип суперпозиции волновых функций

Рассмотрим некоторую физическую величину , характеризующую состояние квантовой системы. Значения, которые может принимать данная физическая величина, называют в квантовой механике ее собственными значениями, а об их совокупности говорят как о спектре собственных значений данной величины.

В квантовой механике, как и в классической, существуют физические величины (например, координаты), собственные значения которых заполняют непрерывный ряд. В таких случаях говорят о непрерывном спектре собственных значений.

Наряду с такими величинами в квантовой механике существуют величины, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре.

Будем полагать для простоты, что рассматриваемая величина обладает дискретным спектром, и ее собственные значения обозначим как . Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина имеет значение как – собственные функции величины . Каждая из этих функций предполагается нормированной:

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией , то произведенное над ней измерение величины даст одно из собственных значений . В соответствии с принципом суперпозиции волновую функцию произвольного состояния можно представить в виде ряда:

где – некоторые не зависящие от координат коэффициенты (для состояний, изменяющихся со временем, коэффициенты зависят от времени). Последнее соотношение означает, что всякая волновая функция может быть разложена по собственным функциям любой физической величины.

В квантовой механике доказывается, что квадрат модуля каждого из коэффициентов разложения (1.1) определяет вероятность соответствующего значения величины в состоянии с волновой функцией . Сумма вероятностей всех возможных значений , очевидно, должна быть равна единице:

(если бы функция не была нормированной, то не имело бы места и соотношение (1.2)).

Кроме того, сами коэффициенты ряда (1.1) могут быть найдены по формуле:

С учетом разложения (1.1) можно увидеть, что собственные функции должны удовлетворять условиям:

где при и при . Если говорить точно, то условие (1.4) выполняется только для невырожденного спектра энергии.

Спектр считается невырожденным, если каждому значению энергии соответствует одна волновая функция.

О функциях, подчиняющихся условию (1.4), говорят как об ортогональных. Таким образом, совокупность собственных функций образует полную систему нормированных и взаимно ортогональных функций, или, как говорят для краткости, систему ортонормированных функций.