Волновая функция. Уравнение Шредингера

В основу математического аппарата квантовой механики положен тот факт, что каждое состояние системы микрочастиц может быть описано некоторой функцией координат и времени . Ее называют волновой функцией (пси-функцией). В общем случае эта функция является комплексной.

Физический смысл ее заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружить частицу в пределах объема :

, где — некоторый коэффициент пропорциональности, который находится из условия (знак ∗ означает комплексное сопряжение). Это позволяет переопределить пси-функцию таким образом, чтобы было выполнено условие нормировки для самой волновой функции: .

Из смысла пси-функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции можно только предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в данном месте пространства.

Сама волновая функция является решением дифференциального уравнения, которое впервые получил Шредингер в 1926 г.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики и не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами. Само уравнение выглядит следующим образом:

Уравнение Шредингера

где — оператор Лапласа, — масса частицы, — функция, градиент которой, взятый со знаком минус, определяет силу, действующую на частицу.

Если функция не зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то не зависит явно от времени, и в этом случае решение уравнения Шредингера можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых зависит только от времени, другой – от координат:

где — полная энергия частицы (в случае стационарных полей остается постоянной). После подстановки этого выражения в исходное уравнение Шредингера и сокращения на получаем уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В дальнейшем будем иметь дело в основном с этим уравнением. Иначе это уравнение можно переписать в следующем виде:

где под будем понимать потенциальную энергию частицы.

Из физического смысла пси-функции следует, что она должна быть однозначной, непрерывной и конечной – т.е. отвечать стандартным условиям. Иногда встречаются ситуации, когда имеет смысл не квадрат модуля волновой функции, а отношение квадратов модулей волновых функций, взятых в разных точках пространства. Это отношение дает относительную вероятность обнаружения частицы в разных точках пространства.

Известно, что уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет решения не при всех значениях параметра , а только при некоторых, называющихся собственными значениям энергии. Тогда соответствующие им значения — называются собственными функциями.