Координатный метод
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Вектор
Суть координатного метода решения заключается в том, что ты делаешь привязку к исследуемым фигурам декартовой системы координат (ДСК), затем записываешь векторы, которые образуют ребра исследуемых фигур, и после вычисляешь необходимые величины (их длину или, например, угол между ними). Записывают: Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем вектора и обозначается как Точка — начало вектора, — конец вектора
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/ad6ec508-9b4f-496a-9b69-cf6ff2021af4.jpg)
Прямоугольная система координат в пространстве
Если ты через точку пространства проведешь три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выберешь направление и выберешь единицу измерения отрезков, то ты задашь систему координат в пространстве.
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/a314deab-0f99-4220-934a-89e9b179aba9.jpg)
Прямые — координатные оси, точка — начало СК (системы координат). В прямоугольной СК каждой точке пространства сопоставляется тройка чисел — ее координаты. где — абсцисса, — ордината, — аппликата.
Вектор в пространстве
В прямоугольной системе координат в пространстве векторы
— единичные координатные векторы (или орты).
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/e93f0ec9-a7e8-4346-a3dd-fa285bdc3cc7.jpg)
Любой вектор можно разложить по координатным векторам:
Коэффициенты разложения определяется единственным образом.
Алгоритм решения задач с помощью координатного метода
Алгоритм решения задач с помощью координатного метода включает в себя следующие шаги:
выбери такую систему координат, в которой будет удобно получить координаты нужных векторов;
найди координаты необходимых для решения точек;
реши задачу с использованием определенных формул.
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/2ae17b75-4aa0-4924-b24f-4b4e1e4fa077.jpg)
Чтобы найти угол между двумя произвольными прямыми, используй формулу:
или в координатной форме:
где — координаты вектора — координаты вектора
Если выполняется тождество: или то можно сделать вывод, что прямые, которым принадлежат данные векторы, перпендикулярны между собой.
Вектор нормали
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, который обязательно перпендикулярен этой плоскости.
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/e6ca2e4d-5c67-4a8c-8f9c-d219d8883369.jpg)
— нормальный вектор плоскости П, — фиксированная точка плоскости П.
Точка принадлежит плоскости П в том случае, если выполняется тождество:
Вырази скалярное произведение векторов в координатах, и получишь общее уравнение плоскости:
или
Угол между прямой и плоскостью
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол, который находится между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/3d36bd6e-7953-4512-89c8-b41eec2e7443.jpg)
Угол между прямой и плоскостью α ты можешь вычислить :
По формуле где точка принадлежит прямой точка — точка пересечения прямой и плоскости
По формуле где — вектор нормали плоскости — направляющий вектор прямой
Угол между плоскостями
Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить так:
По формуле где точка принадлежит плоскости прямая — прямая, по которой пересекаются плоскости и
По формуле где — вектор нормали плоскости — вектор нормали плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, равно длине отрезка перпендикуляра, который опустили из этой точки на плоскость.
![](https://znzn-image-hub.storage.yandexcloud.net/questions-images/b945172a-929e-4969-986a-3fa3afafd7f6.jpg)
Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
где — уравнение плоскости