Задачи на оптимизацию

Задачи на оптимизацию относят к экономическим задачам вместе с рассмотренными ранее задачами на вклады и кредиты. Как правило, оптимизировать нужно производство товаров/услуг/металлургии.

Для того чтобы решить задачи этого типа, нужно обладать следующими навыками:

1. Уметь выполнять преобразования любых алгебраических выражений (рациональных, степенных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических…).

2. С легкостью решать задачи на проценты любого уровня сложности.

3. Решать уравнения и неравенства любого типа и любой сложности.

4. Уметь исследовать функции, в том числе с помощью производной.

5. Понимать условия необходимости и достаточности.

6. Уметь строить математические модели.

В задачах оптимизации главной целью является максимизация прибыли/производства или минимизация расходов. При решении таких задач сначала строится математическая модель. Начинается все с выбора независимой переменной. Что подразумевается под математической моделью? Запись условия задачи с помощью уравнений или неравенств. Они и связывают неизвестные и величину, максимум или минимум которой нужно найти.

После того как математическая модель получена, нужно записать функцию, которая связывает величину, чье оптимальное значение нужно найти с независимой переменной. Как правило, в конечном итоге решение такой задачи сводится к исследованию функции, нахождению точек экстремума.

Итак, чтобы решить задачу на оптимизацию, нужно:

1. Выбрать независимую переменную.

2. Записать условие задачи в виде уравнений/неравенств.

3. Получить функцию для исследования.

4. Найти оптимальное значение, исследуя функцию.

Пример:

Упаковка жвачки «Турбо» стоит 25 рублей. Но в магазине эта упаковка стоит значительно дороже, потому что она проходит через сложную логистику и посредников. Каждый из посредников увеличивает цену в 1,5 или 2 раза после предоставления услуг по перевозке. Супермаркет, в который «Турбо» попадает на прилавок, делает наценку 20%, после чего стоимость упаковки составляет 405 рублей. Сколько посредников участвуют в логистике?

1. Начни с математической модели. Обозначь за количество посредников, которые увеличили цену в 2 раза, а за — тех, кто увеличивал в 1.5 раза. То есть нужно найти сумму

2. Когда разобрались с математической моделью, можно записать условие задачи в виде уравнения:

3. Рассмотри цепочку преобразований и получи итоговое выражение:

4. Из которого видно, что:

5. Откуда а их сумма равна

Ответ: 5 посредников.