Космические скорости. Формулы. Первая и вторая космические скорости

Искусственные спутники Земли (ИСЗ) двигаются за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения ИСЗ по околоземной орбите, близкой к круговой. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние R до центра Земли равным ее радиусу Rз. Тогда нормальное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g.

Первая космическая скорость

Если некий объект (например, ИСЗ) обращается по круговой орбите на высоте, которая пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли, то его скорость называют первой космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую надо сообщить телу для превращения его в спутник Земли.

Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории превышает радиус Земли.

Фактически значение первой космической скорости зависит от высоты h над Землей. На тело массой m, движущееся на высоте h над Землей, по закону всемирного тяготения, действует сила:

где M и R — масса и радиус земного шара.

В данном случае ускорение свободного падения играет роль нормального ускорения тела, движущегося по круговой орбите вокруг Земли (спутника). Из второго закона Ньютона:

Тогда первая космическая скорость при отсутствии атмосферы будет равна круговой скорости:

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника v находится из условия:

где — скорость вращения по орбите , а — скорость вращения по орбите .

Заметим, что при запуске искусственного спутника его начальная скорость должна быть направлена по касательной к земной поверхности.

Период обращения T спутника:

где — период обращения спутника на околоземной орбите.

Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты.

Если бы Земля была однородным шаром, и не существовало бы атмосферы, то спутник двигался бы по орбите, плоскость которой сохраняет неизменную ориентацию в пространстве относительно системы неподвижных звезд. Элементы орбиты в этом случае определяются законами Кеплера. Так как Земля вращается, то при каждом следующем обороте спутник движется над разными точками земной поверхности. Зная трассу спутника за один какой-либо оборот, нетрудно предсказать его положение во все последующие моменты времени. Для этого необходимо учесть, что Земля вращается с запада на восток с угловой скоростью примерно 15 градусов в час. Поэтому на последующем обороте спутник пересекает ту же широту западнее на столько градусов, на сколько Земля повернется на восток за период вращения спутника.

Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6Rз, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбиту с радиусом r=6,6Rз (35 800 км) называют геостационарной.

Третья космическая скорость

Для того чтобы покинуть пределы Солнечной системы, тело должно преодолеть еще и силы притяжения к Солнцу. Необходимая для этого скорость запуска тела с поверхности Земли — третья космическая скорость . При запуске в направлении орбитального движения Земли минимальна и составляет . При запуске в направлении, противоположном направлению движения Земли,

Четвёртая космическая скорость

Можно вычислить начальную скорость, которую необходимо сообщить телу относительно Земли, чтобы оно упало на Солнце. В этом случае скорость тела относительно Солнца будет равна нулю, а относительно Земли — . Эту скорость иногда называют четвертой космической скоростью.