Законы сохранения при вращательном движении

Законы сохранения при вращательном движении

Основной закон динамики для вращательного движения можно переписать следующим образом:

при этом в данном случае M — среднее значение момента внешних сил за бесконечно малый промежуток времени dt. Умножив обе части равенства на dt, получим:

Если внешние силы отсутствуют (замкнутая система) или таковы, что их суммарный момент равен нулю ( M = 0 ), то:

Следствием этого является закон сохранения момента импульса, аналогичный закону сохранения импульса: полный момент импульса в замкнутой системе тел ( F = 0, M = 0 ) есть величина постоянная:

то есть момент импульса вращающегося тела остается постоянным, если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю.

Следствием этого закона являются гироскопический эффект и опыт со скамьей Жуковского. Скамья Жуковского представляет собой вращающийся стул, сиденье которого имеет форму диска. Демонстратор садится на скамью. Ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью. В начале опыта весь вращательный импульс сосредоточен в колесе. Затем демонстратор наклоняет ось колеса. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение. Наклоняя ось колеса, демонстратор во время ее движения испытывает силы бокового давления (колесо стремится вырваться из рук демонстратора). Эти силы направлены горизонтально и перпендикулярно как к оси колеса, так и к оси скамьи. Их геометрическая сумма равна нулю, но они имеют момент относительно вертикальной оси. Этот момент сил и приводит во вращение скамью и демонстратора.

Если на тела системы действуют только внутренние силы и внутренние моменты силы, то момент импульса силы не изменяется. Это значит, что если внутри системы возникло вращение, появился момент импульса, то обязательно внутри той же системы должно возникнуть вращение других ее частей в противоположном направлении так, чтобы общий момент импульса оставался равным нулю. Изменение главного момента количества движения системы происходит только в результате внешних воздействий и зависит от главного момента внешних сил.

Если главный момент внешних сил относительно какого-нибудь центра или оси равен нулю, то главный момент импульса системы относительно этого центра или оси остается величиной постоянной, т. е. имеет место закон сохранения момента импульса.

Чтобы заставить тело вращаться, необходимо совершить работу. Следовательно, вращающееся тело обладает кинетической энергией, которая равна сумме кинетических энергий всех составляющих частиц тела, движущихся по окружностям радиусами ir, т. е.:

где — кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Учитывая и то, что угловая скорость одинакова для всех частиц, получаем математическую форму записи кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

где I — момент инерции тела относительно неподвижной оси.

При действии постоянного вращающего момента силы совершается работа, которая приводит к изменению угловой скорости и изменению кинетической энергии:

Если тело не только вращается вокруг оси, но и движется поступательно (т. е. совершает плоское движение — например, шар движется по наклонной плоскости), то работа внешних сил может привести как к изменению кинетической энергии вращательного движения, так и к изменению кинетической энергии поступательного движения:

Полная кинетическая энергия поступательно движущегося в пространстве и вращающегося вокруг оси тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и его кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс.

Аналогия между законами сохранения для поступательного и вращательного движений