Функция распределения Максвелла

Функция распределения Максвелла

Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. После каждого акта столкновения между молекулами их скорости меняются случайным образом. В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 г. с помощью методов теории вероятностей.

Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в интервале скоростей от до +Δ, включающем данную скорость.

Обозначим множитель перед экспонентой через , тогда из представленного уравнения получим окончательное выражение функции распределения Максвелла:

График функции распределения Максвелла

На графике функции показаны наиболее вероятная, среднеарифметическая и среднеквадратичная скорости газовых молекул.

Средние скорости распределения Максвелла

• Наиболее вероятная скорость молекулы:

• Среднеарифметическая скорость молекулы:

• Среднеквадратичная скорость молекулы:

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

Максвелловское распределение молекул

На рисунке показано, что при увеличении массы молекул (m1 > m2 > m3) и при уменьшении температуры (T1 < T2 < T3) максимум функции распределения Максвелла смещается вправо, в сторону увеличения скоростей.

Выводы:

• Вид распределения молекул газа по скоростям зависит от рода газа и от температуры. Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.

• В показателе степени f(v) стоит отношение кинетической энергии, соответствующей данной скорости, к средней энергии теплового движения молекул; значит, распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии.

• Максвелловский закон – статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Формула Максвелла для относительных скоростей

Относительную скорость обозначим через .

Тогда получим закон распределения Максвелла в приведенном виде:

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.