Делимость многочленов. Свойство делимости многочленов. Теорема о делении с остатком

Пусть – производное поле. Кольцо является коммутативным кольцом с единицей, так же как и кольцо целых чисел, значит можно говорить о делимости многочленов.

Будем говорить, что многочлен ) – элемент поля . будет делить его, если существует такой, что . В этом случае . Если , то так же говорят, что делится на и пишут:. При этом называют делителем , а – частным при делении .

Свойства делимости многочленов:

1. .

2. , .

3. , , .

4. из поля .

5. из поля .

6. и из поля .

7. Всякий делитель многочлена является делителем многочлена для всех из поля , и наоборот: любой делитель многочлена , умноженный на , является делителем многочлена.

Доказательство свойств делимости осуществляется на основании свойств делимости.

Будем говорить, что многочлен делится на многочлен с остатком, если существуют многочлены , такие, что , где степень . При этом многочлен называют неполным частным, а – остатком при делении на .

Теорема (о делении с остатком). Для любого многочлена и из поля существуют и при том единственны многочлены , из поля такие, что выполняются два условия:

1. .

2. .