Кольцо классов вычетов
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
Любое целое число попадает в одно из множеств, также очевидно, что эти множества попарно не пересекаются. Поэтому можно сказать, что эти множества дают разбиение всех целых чисел.
Отмеченные подмножества называются классом вычетов по модулю . Множество всех классов вычетов по модулю обозначается .
Ввёдем на множестве классов вычетов операции и следующими правилами:
;
.
Не трудно заметить, что введённые операции сложения и умножения ввиду неоднозначности отношения классов вычетов являются бинарными алгебраическими операциями на .
Лемма. Пусть – натуральное число, тогда множество класса вычетов является аддитивной абелевой группой.
Лемма. Пусть – натуральное число множества классов вычетов. С операцией классов вычетов является коммутативной мультипликативной полугруппой с единичным элементом.
Лемма. Пусть , . Имеем в кольце обратный элемент тогда и только тогда, когда и – взаимно простые числа.
Теорема.
