Матрицы: основные понятия. Сложение матриц и умножение матрицы на элементы поля. Умножение матриц
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
Пусть – поле, а – натуральные числа. Таблица, составленная из элементов поля , называется матрицей размера над полем . Элементы и из матрицы называются элементами этой матрицы.
Элементы матрицы, имеющие первым индексом число , образуют в матрице -строку.
Элементы матрицы, имеющие вторым индексом число , образуют в матрице -cтолбец.
Матрицу называют матрицей-строкой.
Матрицу называют матрицей-столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулевому элементу поля, называются
Если в матрице числа и равны, то её называют
Элементы квадратной матрицы , , называются диагональными элементами и образуют в квадратной матрице главную диагональ. Другая диагональ квадратной матрицы образуют побочную.
Существуют треугольные матрицы: верхняя треугольная и нижняя.
Диагональной матрицей называют матрицу, которая является квадратной матрицей порядка n и имеет ненулевые элементы только на диагонали.
Скалярной матрицей называют диагональную матрицу, у которой все элементы равны.
Единичной матрицей порядка n называют скалярную матрицу, у которой элементы равны .
Суммой матриц будем называть матрицу, элементы которой вычисляются по правилу: (для всех ).
Для сложения матриц справедливы утверждения:
Сложения матриц является БАО.
Сложение матриц ассоциативно.
Нулевая матрица является в нём нулевым элементом.
Сложение матриц коммутативно.
Произведением элементов и матрицы называется матрица , элементы которой вычисляются по следующему правилу: .
Произведением матриц и называется матрица , элементы которой вычисляются по следующему правилу: .
Свойства умножения матриц :
Умножение матриц не является коммутативным.
Умножение матриц ассоциативно.
Если матрица имеет размерность , то произведение .
Если определено умножение матриц и , то для всех выполняется: .
Умножение и сложение матриц связаны законами дистрибутивности.
Теорема. Множество поля матрицы является аддитивной абелевой группой.
