Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Методы решения крамеровских систем
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
Метод Гаусса заключается в применении к системе линейных уравнений следующего алгоритма:
Записываем расширенную матрицы системы и с помощью элементарных преобразований строк приводим её к ступенчатому виду.
Определяем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы. Возможны два случая:
Ранг матрицы не равен рангу расширенной матрицы система несовместна.
Ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы система совместна.
Если система совместна, то используя ступенчатый вид расширенной матрицы записываем соответствующую ступенчатую систему. Возможны два случая:
Число уравнений ступенчатой системы равно числу неизвестных система имеет единственное решение.
Число уравнений меньше числа неизвестных система имеет больше чем одно решение.
В ступенчатой системе неизвестных, которые первыми встречаются в уравнении, назовём главными неизвестными, а остальные – свободные. Оставляем в левой части каждого уравнения системы слагаемые с главными неизвестными, а остальные перенесем в правую часть. Двигаясь к полученной системе снизу вверх выражаем главные неизвестные через свободные. Свободные неизвестные могут принимать любые значения из поля .
Система линейных уравнений называется крамеровской, если выполняются два условия:
Число уравнений ступенчатой системы равно числу неизвестных.
Определитель матрицы не равен нулю.
, , ... , .
где – определитель матрицы системы, – определитель полученный из определителя после замены -го столбца столбцом свободных коэффициентов, .
Покажем, что решение системы единственно. Предположим что и – решения данной крамеровской системы:
и – верные матричные равенства.
Из этих равенств следует что – решение единственно.
