Многочлены над полями R и C

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры комплексных чисел). любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет точно n-корней в этом поле.

Поле называется алгебраически замкнутым полем, если любой многочлен имеет в поле хотя бы корень.

Теорема. Неприводимыми над полем комплексных чисел являются только многочлены степени.

Поле не является алгебраически замкнутым полем. Однако поле содержится в поле и поэтому любой многочлен принадлежит полю , в свою же очередь принадлежит .

Каждый такой многочлен имеет столько корней, какова его степень.

Теорема. Если комплексное число является корнем многочлена с действительным коэффициентом, то сопряженные – .

Комплексные числа также являются корнем многочлена.

Многочлен с действительным коэффициентом нечетной степени имеет хотя бы один единственный корень.

Теорема. Неприводимым над полем действительных чисел являются многочлены первой степени и степени с отрицательным дискриминантом.

При нахождении корней многочлена и разложении многочлена на неприводимые множители, можно использовать теорему о рациональных корнях многочлена.