Определение линейного (векторного) пространства. Простейшие свойства линейных пространств

Пусть дано поле ( – поле вещественных чисел, – поле комплексных чисел).

Если на этом множестве определены две операции:

• Операция сложения: , , взятым в определенным порядке, ставится в соответствие элемент этого множества , называемый суммой и ( );

• Операция умножения на число : , ( ), называемый произведением числа из поля на .

Операции сложения и умножения на число обладают следующими свойствами:

, ,

1.  (аксиома коммутативности);

2. (аксиома ассоциативности);

3. (существование нулевого элемента);

4. (существование противоположного элемента);

5. ;

6. (ассоциативность умножения на число);

7. (дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел);

8. (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов).

Простейшие свойства линейных пространств:

1. В ЛП существует единственный нулевой элемент.

2. Для противоположный элемент.

3. В ЛП справедливы равенства: , и , .

4. В ЛП из или .

5. В ЛП a .

6. В ЛП .