Определение линейного (векторного) пространства. Простейшие свойства линейных пространств
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
Пусть дано поле ( – поле вещественных чисел, – поле комплексных чисел).
Если на этом множестве определены две операции:
Операция сложения : , , взятым в определенным порядке, ставится в соответствие элемент этого множества , называемый суммой и ( );Операция умножения на число : , ( ), называемый произведением числа из поля на .
Операции сложения и умножения на число обладают следующими свойствами:
, ,
(аксиома коммутативности);
(аксиома ассоциативности);
(существование нулевого элемента);
(существование противоположного элемента);
;
(ассоциативность умножения на число);
(дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел);
(дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов).
Линейное пространство (ЛП) над полем вещественных чисел называется вещественным ЛП, над полем – комплексным ЛП. ЛП – абстрактное векторное пространство. Элементы ЛП называются векторами. Вектор называется нулевым вектором пространства, – противоположным к вектору . Разностью векторов и называется такой вектор . Обозначение .
Простейшие свойства линейных пространств :
В ЛП существует единственный нулевой элемент.
Для противоположный элемент.
В ЛП справедливы равенства: , и , .
В ЛП из или .
В ЛП a .
В ЛП .
