Полное матричное кольцо. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатая матрица
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
Теорема. Множество всех квадратных матриц порядка над полем с операциями сложения и умножения матриц являются некоммутативным кольцом с единичным элементом. Это кольцо называется полным матричным кольцом порядка над полем .
Перевод от матрицы к матрице , у которой столбцы являются строками матрицы и записаны в том же порядке как строки матрицы приводит к транспонированной матрице.
;
;
;
.
Элементами преобразования в матрице будем называть:
Умножение элементов строки на ненулевой элемент поля;
Прибавление ко всем элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на один и тот же элемент поля.
Лемма. С помощью элементарных преобразований строк матрицы можно поменять местами любые строки матрицы. Лемма позволяет нам при выполнении элементарных преобразований строк матриц также менять местами любые две строки матрицы.
Определение.
Если строка матрицы нулевая, то строка, если она существует, так же нулевая;
Если элемент и -ая строка стоят в столбцах и соответственно, то .
Теорема. Любую матрицу над полем с помощью элементарных преобразований строк можно привести к ступенчатому виду.
Полезные ссылки:
