Построение кольца многочленов

Пусть – поле. Рассмотрим множество всех бесконечных последовательностей и в которых лишь конечное число ненулевых элементов. Не трудно заметить, что в таких последовательностях, начиная с некоторого номера все компоненты равны нулю.

Две последовательности будем называть равными и писать в точности, когда .

Введём на множестве правила сложения следующим правилом:

.

Очевидно, что компоненты последовательности – суммы поля.

Если в первой последовательности все элементы, начиная с номера равны нулю, а во второй последовательности равны нулю все элементы, начиная с номера , то в сумме последовательностей все элементы, начиная с номера будут равны нулю. Это означает что сумма последовательности принадлежит множеству A и операция сложения является на множестве .

Введём на множестве правила умножения следующим правилом:

, где , …

Не трудно заметить, что введенная таким образом операция является на множестве .

Если все компоненты, начиная с номера равны нулю, а во втором множестве все элементы начиная с номера равны нулю, то в произведении последовательности, начиная с номера будут равны нулю.

Последовательности вида ,,, складываются и умножаются как соответствующие элементы поля . Это позволяет отождествлять последовательность с элементом a.

Обозначим последовательность ,,0, символом и назовём этот символ переменной над полем . Заметим, что .

Таким образом, если – последняя ненулевая компонента, отличная от нуля в последовательности , то последовательность в новых обозначениях запишется в виде: .

Таким образом, каждый элемент кольца примет вид , где – натуральные числа и ноль.

Построенное кольцо называют кольцом многочленов над полем от одной переменной и обозначают .

Элементы кольца называют многочленами или полиномами. Чаще используют запись многочленов по убывающим степеням.

Заметим, что нулевому многочлену присваивают степень равную - \propto.

Теорема. Справедливы утверждения:

1. , ;

2. + .