Построение кольца многочленов
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Пусть – поле. Рассмотрим множество всех бесконечных последовательностей и в которых лишь конечное число ненулевых элементов. Не трудно заметить, что в таких последовательностях, начиная с некоторого номера все компоненты равны нулю.
Две последовательности будем называть равными и писать в точности, когда .
Введём на множестве правила сложения следующим правилом:
.
Очевидно, что компоненты последовательности – суммы поля.
Если в первой последовательности все элементы, начиная с номера равны нулю, а во второй последовательности равны нулю все элементы, начиная с номера , то в сумме последовательностей все элементы, начиная с номера будут равны нулю. Это означает что сумма последовательности принадлежит множеству A и операция сложения является на множестве .
Введём на множестве правила умножения следующим правилом:
, где , …
Не трудно заметить, что введенная таким образом операция является на множестве .
Если все компоненты, начиная с номера равны нулю, а во втором множестве все элементы начиная с номера равны нулю, то в произведении последовательности, начиная с номера будут равны нулю.
Множество всех бесконечных последовательностей , где – элемент поля с конечным числом ненулевых элементов и введенными операциями сложения и умножения, последовательность является коммутативным кольцом с нулевым и единичным элементами.
Последовательности вида ,,, складываются и умножаются как соответствующие элементы поля . Это позволяет отождествлять последовательность с элементом a.
Обозначим последовательность ,,0, символом и назовём этот символ переменной над полем . Заметим, что .
Таким образом, если – последняя ненулевая компонента, отличная от нуля в последовательности , то последовательность в новых обозначениях запишется в виде: .
Таким образом, каждый элемент кольца примет вид , где – натуральные числа и ноль.
Построенное кольцо называют кольцом многочленов над полем от одной переменной и обозначают .
Элементы кольца называют многочленами или полиномами. Чаще используют запись многочленов по убывающим степеням.
Последовательности соответствуют многочлену, все коэффициенты которого равны нулю. Этот многочлен называется
Заметим, что нулевому многочлену присваивают степень равную - \propto.
Теорема. Справедливы утверждения:
, ;
+ .
