Ранг матрицы и его вычисление

Пусть , – натуральные числа, с элементами – матрица с размером над полем .

Зафиксируем в матрице натуральное число , где   .

Выберем в матрице строк с номерами … .

Также выберем столбцов с номерами … .

Составим определитель из элементов матрицы, состоящий на пересечении выбранной строки и выбранного столбца.

Получим определитель порядка , который называют минором этого порядка матриц.

Если в матрице все миноры -порядка равны нулю, то и все миноры порядка, если они существуют, также равны нулю.

У нулевой матрицы все миноры порядка равны нулю и её ранг матрицы считается равным нулю.

Не трудно заметить, что у всех миноров порядка одинаковые столбцы, и поэтому все миноры порядка равны нулю, а ранг матрицы равен .

Практический способ вычисления основан на следующих теоремах:

Из этих теорем следует, что для вычисления ранга матрицы нужно привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк и найти количество ненулевых строк этой ступенчатой матрицы.