Ранг матрицы и его вычисление
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Пусть , – натуральные числа, с элементами – матрица с размером над полем .
Зафиксируем в матрице натуральное число , где .
Выберем в матрице строк с номерами … .
Также выберем столбцов с номерами … .
Составим определитель из элементов матрицы, состоящий на пересечении выбранной строки и выбранного столбца.
Получим определитель порядка , который называют минором этого порядка матриц.
Если в матрице все миноры -порядка равны нулю, то и все миноры порядка, если они существуют, также равны нулю.
У нулевой матрицы все миноры порядка равны нулю и её ранг матрицы считается равным нулю.
Не трудно заметить, что у всех миноров порядка одинаковые столбцы, и поэтому все миноры порядка равны нулю, а ранг матрицы равен .
Ранг ненулевой матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Практический способ вычисления основан на следующих теоремах:
Теорема. При элементарных преобразованиях строк матрицы, её ранг не меняется.
Теорема.
Из этих теорем следует, что для вычисления ранга матрицы нужно привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк и найти количество ненулевых строк этой ступенчатой матрицы.
