Системы линейных уравнений: основные понятия. Критерий совместности системы линейных уравнений

Системой – линейных уравнений с неизвестными , , ..., над полем называется совокупность уравнений.

называют коэффициентами системы. Элементы – свободными коэффициентами системы.

Решением системы называют совокупность ,,.., элементов поля , которые после подстановки их в уравнение системы вместо x соответственно превращают эти уравнения в верные равенства.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и не совместной, если решений нет.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Две системы линейных уравнений с – неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы. Эта теорема лежит в основе решения задачи об исследовании системы линейных уравнений на совместность.