... > Алгебра > Системы линейных уравнений:...

Системы линейных уравнений: основные понятия. Критерий совместности системы линейных уравнений

НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ

Решить систему Теорема Кронекера-Капелли

Системой – линейных уравнений с неизвестными , , ..., над полем называется совокупность уравнений.

называют коэффициентами системы. Элементы – свободными коэффициентами системы.

Решением системы называют совокупность ,,.., элементов поля , которые после подстановки их в уравнение системы вместо x соответственно превращают эти уравнения в верные равенства.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и не совместной, если решений нет.

Решить систему – значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Две системы линейных уравнений с – неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений будем называть следующие преобразования:

  1. Умножение какого-либо уравнения на ненулевой элемент поля .

  2. Прибавление к одному уравнению другого, умноженного на произвольный элемент поля .

При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную ей систему линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы. Эта теорема лежит в основе решения задачи об исследовании системы линейных уравнений на совместность.