Взаимно простые многочлены. Неприводимые многочлены. Аналог основной теоремы арифметики
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Многочлены , из поля называются
Теорема. Два многочлена и взаимно просты тогда и только тогда, когда существует многочлены , из поля такие, что .
Теорема. Если произведение многочленов и и , – взаимно просты, то .
Пусть степень многочлена . По свойствам делимости: для всех элементов из поля , элемент и . Если многочлен других делителей в кольце не имеет, то называют неприводимым многочленом над полем .
Другими словами, многочлен , принадлежащий кольцу и , является неприводимым над полем , если его нельзя представить в виде:
, и .
Из определения неприводимых элементов поля вытекают следующие простейшие свойства:
Любой элемент первой степени не приводим над полем .
– неприводим над полем , для всех из поля , – неприводимо.
Теорема. Для многочленов из кольца справедливы утверждения:
Если многочлен из поля неприводим над полем , то для всех из этого же поля либо , либо , – взаимно просты.
Если многочлен из поля неприводим над полем и , то либо , либо .
В кольце существует аналог основной теоремы арифметики о разложении многочлена на неприводимые множители:
