Компактность в метрических пространствах. Предкомпактность, критерий предкомпактности Хаусдорфа в полных пространствах

Пусть - метрическое пространство. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Пусть - метрическое пространство. Множество называется компактным (компактом), если из любой последовательности можно выбрать подпоследовательность сходящуюся к точке (свойство Больцано-Вейерштрасса).

Метрическое пространство называется предкомпактным, если его пополнение компактно.

Подмножество метрического пространства называется вполне ограниченным, если его можно покрыть конечным числом шаров сколь угодно малого радиуса.

Теорема (критерий предкомпактности Хаусдорфа). Подмножество полного метрического пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.