Непрерывные отображения метрических пространств. Критерий непрерывности
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Пусть - метрические пространства. Говорят, что отображение непрерывно в точке , если для каждого , что для всех таких, что , выполнено неравенство
Пусть - метрические пространства. Отображение непрерывно во всех точках пространства , то говорят, что непрерывно на (или просто непрерывно).
Теорема (критерий непрерывности). Пусть - метрические пространства. Отображение непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого подмножества пространства открыт в .
Доказательство.
Необходимость. Пусть отображение непрерывно, открыто в Тогда содержит окрестность точки Следовательно, найдется окрестность точки такая, что а потому
Достаточность. Пусть прообраз любого открытого подмножества пространства открыт в Тогда для любой окрестности тогда найдется окрестность точки содержащаяся в Поэтому
