Свойства полных подмножеств
ДОБАВИТЬ В КОНСПЕКТ
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
ПОЛНЫЙ ОТВЕТ
БЕЗ ВОДЫ
Без воды — краткий вариант ответа,
легко понять и запомнить
легко понять и запомнить
Пусть – метрическое пространство и . Если пространства - полное, то называется полным подмножеством .
Теорема (свойства полных подмножеств).
Полное подмножество любого метрического пространства замкнуто.
Замкнутое подмножество полного пространства полно.
Доказательство.
Пусть - полное подмножество метрического пространства. Достаточно показать, что каждая точка принадлежит . Но существует последовательность , откуда следует, что фундаментальна. Значит, существует элемент , такой, что . В силу единственности предела элемента совпадает с , и, стало быть, . Таким образом, а потому .
