Теорема Гильберта

Теорема Гильберта. Пусть есть компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Существует ортонормированный базис пространства состоящий из собственных векторов оператора

Интерес представляет случай, когда и пространство бесконечномерно. Тогда и (в противном случае так как по теореме о спектре самосопряженного оператора ). При этом по теореме Рисса-Шаудера оператор имеет (непустое) не более чем счетное множество собственных значений Выберем в каждом собственном подпространстве оператора ортонормированный базис. Так как собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям оператора, ортогональны друг другу, то объединение всех таких векторов является ортонормированной системой в Обозначим через замыкание линейной оболочки этих векторов. Предположим, что Так как оператор самосопряжен и сохраняет подпространство то он сохраняет и его ортогональное дополнение, причем неравное нулю по теореме о разложении. Обозначим через сужение оператор, так что является самосопряженным компактным оператором. По теореме Рисса-Шаудера любое значение есть собственное значение а следовательно и а все они уже включены в Поэтому спектр оператора должен быть равен нулю, а тогда Следовательно, – собственное подпространство оператора с нулевым собственным значением, что противоречит определению как подпространства, содержащего все собственные подпространства Следовательно,