Теорема о непрерывном образе компактного пространства
ДОБАВИТЬ В КОНСПЕКТ
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
ПОЛНЫЙ ОТВЕТ
БЕЗ ВОДЫ
Без воды — краткий вариант ответа,
легко понять и запомнить
легко понять и запомнить
Теорема (обобщенная теорема Вейерштрасса о максимальном значении). Непрерывный образ компакта есть компакт.
Доказательство
Пусть — компакт, — метрическое пространство —непрерывное отображение. Для каждой последовательности существует такая подпоследовательность сходящаяся к точке Тогда Таким образом, есть компакт.
Следствие (обобщенная теорема Вейерштрасса для действительнозначных функций). Пусть есть непрерывное отображение. Тогда во множестве его значений существуют наибольшее и наименьшее
