Теорема Ф.Рисса о некомпактности шара (критерий конечномерности)

Пусть — векторное пространство над полем Функция называется нормой, если она обладает следующими свойствами:

1. только при

2. для всех

3. для всех (неравенство треугольника для нормы).

Векторное пространство, наделенное нормой, называется нормированным пространством.

Пусть — метрическое пространство. Множество называется компактным (компактом), если из любой последовательности можно выбрать подпоследовательность сходящуюся к точке (свойство Больцано-Вейерштрасса).

Теорема (Ф.Рисса, критерий конечномерности нормированного пространства). Нормированное пространство конечномерно тогда и только тогда, когда шар этого пространства компактен.