Аксиоматика действительных чисел
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Множество действительных чисел мы будем рассматривать как множество, на котором определены операция сложения , умножения , отношение порядка и выполняются аксиомы:
(ассоциативность);
(существование нейтрального элемента);
(существование противоположного элемента);
(коммутативность);
(существование обратного элемента);
(транзитивность);
(антисимметричность);
(аксиома Архимеда). Каковы бы ни были действительные числа , существует натуральное число такое, что
(аксиома непрерывности). Если – непустые подмножества множества действительных чисел и при всех то существует действительное число такое, что .
В отличие от аксиом (1) – (12), в аксиомах 13 и 14 не все кванторы имеют областью определения множество действительных чисел: в аксиоме Архимеда квантор действует на натуральные числа, а в аксиоме непрерывности – на подмножества. Мы будем говорить, что аксиомы (1) – (12) являются формулами логики первого порядка, а аксиомы (13), (14) таковыми не являются.
В курсе математического анализа доказывается, что аксиома непрерывности эквивалентна принципу вложенных отрезков, а также теореме о существовании точной верхней грани непустого ограниченного множества. Следовательно, аксиома (14) может быть заменена на одно из этих утверждений.
Отметим, что множество действительных чисел определяется аксиомами (1) – (14) однозначно с точностью до изоморфизма. Однако доказывать это утверждение мы не будем. Аксиом (1) – (13) для определения множества недостаточно, так как этим аксиомам удовлетворяет также множество рациональных чисел. Кроме того, данное рассуждение показывает независимость аксиомы (14) от предыдущих аксиом.
