Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Теорема. Сумма (разность) сходящихся последовательностей и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и , то есть .
Доказательство
Пусть и – соответственно пределы последовательностей и . Тогда и , где и – бесконечно малые последовательности. Следовательно, . Последовательность – бесконечно малая, таким образом, последовательность сходится и имеет пределом число .
Теорема. Произведение сходящихся последовательностей и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов и , то есть .
Доказательство
Пусть и – соответственно пределы последовательностей и . Тогда и , где и – бесконечно малые последовательности. Рассмотрим разность . Последовательность – бесконечно малая, тогда и последовательность также бесконечно малая, поэтому последовательность сходится и имеет своим пределом число .
