Критерий Коши существования предела функции

Доказательство

Необходимость.

Если функция имеет в точке конечный предел . Согласно определению предела функции по Коши это означает, что имеется такая функция , так что для любого числа выполняется неравенство при . Тогда при выбранном числе и при имеем:

.

Положим . Тогда при .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого числа выполняется неравенство при . Это означает, что выполняется условие Коши.

Достаточность.

Пусть в точке выполняется условие Коши. То есть существует такая функция , так что для любого числа выполняется неравенство при . Докажем, что функция имеет в точке конечный предел . Для доказательства мы применим определение предела функции по Гейне и Критерий Коши сходимости последовательности.

Пусть есть производная последовательность, элементы которой принадлежат проколотой окрестности , на которой определена функция . И пусть эта последовательность сходится к : .

Рассмотрим последовательность . Доказав, что данная последовательность сходится и что любые последовательности сходятся к одному числу, теорема будет полностью доказана.