Общие свойства предела числовой последовательности. Теорема о единственности предела

Свойства

1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

2. Если существуют конечные пределы последовательностей и , то

3. Если существуют конечные пределы последовательности и , то

   1. ,

   3. ().

Доказательство

Докажем методом от противного. Предположим, что , , Возьмем , по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая -окрестность точки , в которой одновременно будут выполнятся неравенства , тогда в точках этой же окрестности . Получили противоречие . Отсюда, функция в точке имеет единственный предел.