Основные свойства сходящихся последовательностей

Приведем основные свойства сходящихся последовательностей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу , то .

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и .

5. Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей и .

6. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей и .

7. Если элементы сходящейся последовательности удовлетворяют неравенству начиная с некоторого номера, то и предел этой последова­тельности удовлетворяет неравенству .

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.