Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
Теорема (о связи между бесконечно большой и бесконечно малой). Пусть функция отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки . Эта функция бесконечно мала при тогда и только тогда, когда функция является бесконечно большой (при ).
Доказательство
Необходимость.
Пусть бесконечно мала при , и пусть задано (сколь угодно большое) положительное число E. Возьмем столь малое , что ; тогда . Так как бесконечно мала при , то существует такое, что при всех , , выполняется неравенство . По условию теоремы отлична от нуля в проколотой окрестности точки ; отсюда , т.е. . Поэтому при , и является бесконечно большой при указанном предельном переходе. Необходимость доказана. Достаточность доказывается аналогично.
