Теорема о существовании точной грани непустого ограниченного числового множества
НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ
легко понять и запомнить
Теорема. Любое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.
Доказательство
Пусть — ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через множество всех чисел, ограничивающих сверху множество . Множество ограничено сверху, поэтому множество не пусто. Каждый элемент ограничивает сверху множество , т.е. Элементы x и y являются произвольными элементами соответственно множеств и , поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, и имеет место неравенство .
Выполнение неравенства означает, что число ограничивает сверху множество , а выполнение неравенства для всех , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество , означает, что число является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества .
-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.
Если теперь - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству все числа, ограничивающие снизу множество .
Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, и имеет место неравенство .
Это означает, что . Теорема доказана.
